Ordre (théorie des groupes)
Définition
Ordre d'un groupe
Ordre d'un groupe (fini) : cardinal de ce groupe
(
Groupe,
Ensemble fini,
Cardinal - Cardinalité)
Ordre d'un élément d'un groupe
Définition :
\(\operatorname{ordre}(g)\) est le plus petit \(d\gt 0\) tel que \(g^d=1\)
Propriétés
Relation entre le cardinal d'un groupe et l'ordre d'un élément :
$$\operatorname{ordre}(g)|n$$
Soit \(g\) un élément d'ordre fini \(nm\)
Alors $$\operatorname{ordre}({{x^n}})={{m}}$$
Avec des morphismes
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme de groupes
$$\forall g\in G,\qquad {{\operatorname{ordre}(f(g))|\operatorname{ordre}(g)}}f(g)}}$$
Ordre de l'image par un morphisme :
- soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
- \(f\) est injective
$$\Huge\iff$$
- $$\forall g\in G,\qquad\operatorname{ordre}(f(g))=\operatorname{ordre}(g)$$
(
Morphisme de groupe (Injectivité))
